关于攻击力和防御力收益的计算

2023/6/21489 浏览游戏攻略
一，伤害公式:
攻击力²/(攻击力+敌方防御力) = 实际伤害
这个公式不够直白，我们需要进行变换，以此来方便计算与直观思考。
把敌方防御力这一项换算成，A%攻击力。例如，敌方500甲，自己1000攻击力，那就是敌方防御力相当于500/1000 = 50%攻击力。
二，一步优化后的公式
攻击力²/(攻击力+A%攻击力) = 实际伤害
约去一个攻击力
攻击力/(1+A%) = 实际伤害
到这一步实际上相比于初始公式，擅长口算的人使用起来已经足够用了，但是还可以更清晰。
我们将右边实际伤害用，敌方生命值，替换，反推所需的攻击力
三，两步优化后的公式
一次清空血条所需攻击力/(1+A%) = 敌方血条
一次清空血条所需攻击力 = 敌方血条*(1+A%)
所需攻击次数 = 所需攻击力/面板攻击力
当然，这是不考虑暴击，也不考虑对兵种加伤，减伤的。但是到这一步，真要算具体攻击次数，也很简单。
这些算出来，只是为了单纯体现攻击力与防御力之间的关系。
四，真正想推到的结论——有关防御力
我们如果转换视角，以被攻击方视角来看。
每拥有相当于对方100%攻击力的防御力，自己就能多抗一条血的伤害。
例如4000血，500甲，抗500攻击力的人，能抗8000折前伤害。8000/500=16下。
如果有1000甲了，就能抗12000/500=24下。
能抗的折前伤害，也就是无甲等效生命值。当对面攻击力为500，4000血500甲的承伤能力，等于8000血0甲。
代入原始公式计算，500*500/(500+1000)=166.6666667每下
4000/166.66=24下
可见推导结论是正确的。
如果以上都没看懂，也不想看，只需要知道可以得出一个关键结论 :
防御力增长的收益是线性的。
五，真正想推到的结论——攻击力
攻击力的收益曲线呢？
如果攻击力翻C倍，则本来可以相当于A%攻击力的对方防御力，变成了A/C％。
对方能抗的折前伤害 = (1+A/C%)*生命值
= 生命值 + A%生命值/C
可见，不仅自己的折前伤害确实能提高C倍，对面的无甲等效生命值还衰减了。
这个公式有两部分，1和A%的大小关系会影响攻击力收益。
当攻击力本来就很高时，A的值已经很小，提升C倍攻击力，就只有大约C倍的效果。
但是当攻击力很低时，A值很大，提升C倍攻击力能起到至多C²倍的效果。
看不懂没关系，只要知道最终结论 :
攻击力的收益是从C²到C衰减的曲线，与对方防御力挂钩。是曲线的。
这意味着1000攻击力拆500甲的人的速度，是500攻击力的三倍。
六，回归游戏
削减对方攻击力的效果极为明显，降对方防御力的增伤效果没有那么夸张。
攻击力属性堆高高就行，光堆防御或者光堆生命值收益都不如均衡地堆。
减伤和增伤的系数，不影响攻击力和防御力之间的关系。有增伤拆人更快，有减伤死得更慢，但是攻击力防御力本身的关系是没有变的，只不过在计算完以后乘上了百分比增伤减伤的系数。
包括暴击率，伤害波动，等等。我这边计算的结论都只是，攻击力和防御力的相关关系，是最为本质的，后续计算都是在此之上堆叠，不影响本质关系。
七，
以上都是脑算的，公式也是。没有纸笔写下来算，也许会有错吧。不过我认为应该没有。
结论只有两个:
防御力是线性收益
攻击力收益超过线性，不到二次方
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评论23
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T^T
a^2/(a+b)，a，b大于0
对a求导数：=2a/(a+b)-a^2/(a+b)^2=(a^2+2ab)/(a+b)^2=1-b^2/(a+b)^2
对a求二阶导：=2b^2/(a+b)^3
对b求导数：=-a^2/(a+b)^2=-(a/a+b)^2
对b求二阶导：=2a^2/(a+b)^3
导数对应伤害的变化，二阶导对应伤害变化幅度的变化。
给定对方攻击不变，自己防御的最优解：
min(a^2/(a+b))
或者说max(-a^2/(a+b))
条件是新式对b的导数为0，二阶导小于0；
解不存在，或者说b趋向于正无穷；
但是新式对b的导数恒大于0小于1，二阶导恒小于0，说明防御是边际效益递减，同样的1点防御，已有防御堆得越高，这1点防御效益越差（始终比线性弱）。当b趋向于0时，收益才趋向于线性。
给定对方防御不变，自己攻击的最优解：
max(a^2/(a+b))
条件是对a的导数为0，二阶导小于0；
限定边界下解不存在；
但是在b>0的情况下，对a的导数恒大于0小于1，二阶导恒大于0，说明攻击是边际效益递增，同样的1点攻击，已有攻击堆得越高，这1点攻击效益越高（但还是比线性弱，因为导数恒小于1）。当a趋向于无穷时，收益趋向于线性。
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7楼
2023/6/21
T^T
所以攻击和防御的收益都弱于线性，但是攻击的边际效益递增，防御的边际效益递减。
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2023/6/21
砾志
我们关注的点不同，对于公式进行一阶导和二阶导都是对于伤害值进行判断，对于公式进行延伸与变换后，得到的是另外一些东西。例如防御力是否低于线性。从伤害值上来看，每一点防御能降低的会越来越少，但是从承伤次数上来看，那就是线性的。因为生命值除以伤害值才是承伤次数。就包括别的游戏，例如LOL里，减伤是(x/100+x)，肯定非线性，但是这里的线性在于，每一百点甲相当于多一管血。这个游戏里，每拥有100%对方攻击力，面对对方就相当于多一管血。这个关系是线性的。而伤害数值最终要体现价值还是体现在消灭对方上面，也就是打空一管血。
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2023/6/23
全部 11 条回复
T^T
回头看了一下你的推导，出问题的确实是你的表述。第五段里的表达式是一个关于C^(-2)的函数，当你定义的A趋向于0时它会衰退为C^(-1)的函数，你把次方的负号全漏了，所以不是线性和二次方，应该是-1次方和-2次方
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10楼
2023/6/23
砾志
这个地方需要的是求极限而不是求导。在将def看做常数后，atk趋向0和正无穷分别求极限。0和无穷其间变化是平滑的，那结论显而易见。
2023/6/25
T^T
你文章里面收益函数一直没写出来，第五段里那个函数C的次方是负的，如果你是拿伤害作攻击的收益函数，那这里的表达式就是矛盾的
2023/6/25
YU
[TapFamily_赞]借你的文案用半天 
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8楼
2023/6/21
砾志
随便用，但是顺带一提，活动抽奖从来没有抽到过我，我要大声嚷嚷了
2023/6/25
Cecil
这游戏就是明显攻击收益大于防御，所以这也就是领导力作用大于间谍的主要原因。同时也是指挥官是最神技的体现。
11楼
2023/6/24
沐尘
[TapFamily_赞]这很
9楼
2023/6/21
烨
这偶遇大佬[TapFamily_麻了]
2楼
2023/6/21
烨
[TapFamily_爱了]以前也有铁说这个公式，你可以看一下以前的对比一下哟
3楼
2023/6/21
大少爷
建议编成matlab
5楼
2023/6/21
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TapTap
4楼
2023/6/21
已经到底了
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